29. 선로정수(정전용량)

4. 선로정수와 코로나

4.4 정전용량

 

4.4.1 정전 용량의 정의

 다수의 도체가 존재할 경우 어느 한 개의 도체의 정전 용량이란 다른 모든 도체는 접지해서 영전위로 유지한 다음 그 도체에 전하 Q를 주었을 경우 나타나는 전위 V라고 할 때 이 V로 전하 Q를 나눈 값, 곧 C=Q/V로 표현되는 값을 말한다.

또, 그 가운데에서 특정한 2개의 도체 1,2 사이의 정전용량이란 그 2개의 도체 간의 구속 전하를 Q₁₂라 하고 양자 간의 전위차를 V₁₂라 할 때 C₁₂=Q₁₂/V₁₂로 표현된다.

 지금 공간에 1,2,3,... , n인 n개의 도체가 존재할 경우 각 도체가 보유하는 전하를 Q₁, Q₂, Q₃,... Qn이라 하고 한다면 전위와 전하 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

 위식에서의 p는 전위계수라는 것이며 pₘ은 도체 m에만 단위전하를 주었을 때의 m자체의 전위를 나타내고, pₘₙ은 도체  n에만 단위전하를 주었을 때의 도체 m의 나타내는 것이다. 전위 계수는 각 도체의 모양 및 그 상대적인 위치가 정해지면 그에 따라서 정해지는 정수로서 V나 Q 와는 아무 관계가 없는 것이다. p는 모두 정의 부호를 가지며 또한 pₘₘ=pₘₙ의 관계가 있다. 이번에는 이 식 (4.49)를 전하 Q에 대해서 풀면 다음과 같이 된다.

위식의 k는 식 (4.49)의 p로부터 수학적으로 산출(역행렬 계산)할 수 있는 계수이며, pₘₘ=pₘₙ의 관계가 있으므로 당연히 ㅏkₘₘ=kₘₙ으로 된다.

 지금 식 (4.50)에서 V₁만 남기고 V₂=V₃=···Vₙ=0이라고 둔다. 즉, 도체 1 이외의 다른 도체를 모두 접지해서 그 전위를 0으로 하면 Q₁=k₁₁V₁으로 되며 따라서 이때의 k₁₁은 앞서의 정의에 따라 도체 1의 정전용량을 나타내게 된다.(그 부호는 물론 정이다.) 또, 이때 Q₂=k₂₁V₁으로 되는 데 이것은 도체 2에 V₁에 대한 정전유도로 부의전하가 Q₂가 나타난다는 것을 나타내며 따라서 이때의 k₂₁은 부로 된다.

 일반적으로는 kₙₙ과 같이 동일한 첨자 기호를 갖는 계수(이것은 모두 정의 부호를 가진다.)를 정전유도계수라고 부르고 있다.

 간다한 예로서 그림 4.19와 같이 2 도체의 경우에 대해서 식 (4.50)을 적용해 보기로 한다.

위 식과 그림 4.19를 대비시켜서 볼 때 각 정전용량은 다음과 같은 값을 가진다는 것을 알 수 있다. 즉,

도체의 수가 더 많은 경우에 있어서도 이에 대응하는 계산식을 식 (4.51)의 요령으로 변형할 수 있기 때문에 결국 식 (4.52)와 같이 정전용량은 k의 함수로서 나타낼 수가 있다.

 앞서 k는 p의 함수로서 표시되었던 것이며, 또 p는 도체의 모양과 관계 위치를 알면 쉽게 산출할 수 있는 것이었으므로 결국 전위 계수로부터 시작해서 정전 용량 계수, 정전 유도 계수를 구한 다음 이것을 사용해서 정전용량을 수학적으로 산출해 나갈 수 있는 것이다.

그림 4.19 2도체의 정전용량